位置:首页 > 数据结构之Treap >

数据结构之Treap

作者:小牛君|发布时间:2017-03-24

小牛学堂的课程大纲最近进行了再一次升级,并且同时推出Java大数据平台开发班、Python爬虫与数据挖掘班、Spark项目班、Spark大神班、机器学习算法实战班、BI数据分析实战班, 目前这类人群凤毛麟角,导致这个行业的平均薪资极高,为此小牛学堂集合了行业的诸多大牛开设对应班级,为想学习的同学提供机会!
如果想了解详细情况,请联系 今日值班讲师 或者直接加入千人QQ群进行咨询:210992946

以下是本文正文:



1. 概述

同splay tree一样,treap也是一个平衡二叉树,不过Treap会记录一个额外的数据,即优先级。Treap在以关键码构成二叉搜索树的同时,还按优先级来满足堆的性质。因而,Treap=tree+heap。这里需要注意的是,Treap并不是二叉堆,二叉堆必须是完全二叉树,而Treap可以并不一定是。

2. Treap基本操作

为了使Treap 中的节点同时满足BST性质和最小堆性质,不可避免地要对其结构进行调整,调整方式被称为旋转。在维护Treap 的过程中,只有两种旋转,分别是左旋转(简称左旋)和右旋转(简称右旋)。

左旋一个子树,会把它的根节点旋转到根的左子树位置,同时根节点的右子节点成为子树的根;右旋一个子树,会把它的根节点旋转到根的右子树位置,同时根节点的左子节点成为子树的根。


struct Treap_Node

{

  Treap_Node *left,*right; //节点的左右子树的指针

  int value,fix; //节点的值和优先级

};

void Treap_Left_Rotate(Treap_Node *&a) //左旋 节点指针一定要传递引用

{

  Treap_Node *b=a->right;

  a->right=b->left;

  b->left=a;

  a=b;

}

void Treap_Right_Rotate(Treap_Node *&a) //右旋 节点指针一定要传递引用

{

  Treap_Node *b=a->left;

  a->left=b->right;

  b->right=a;

  a=b;

}

3. Treap的操作

同其他树形结构一样,treap的基本操作有:查找,插入,删除等。

3.1    查找

同其他二叉树一样,treap的查找过程就是二分查找的过程,复杂度为O(lg n)。

3.2    插入

在Treap 中插入元素,与在BST 中插入方法相似。首先找到合适的插入位置,然后建立新的节点,存储元素。但是要注意新的节点会有一个优先级属性,该值可能会破坏堆序,因此我们要根据需要进行恰当的旋转。具体方法如下:

1. 从根节点开始插入;

2. 如果要插入的值小于等于当前节点的值,在当前节点的左子树中插入,插入后如果左子节点的优先级小于当前节点的优先级,对当前节点进行右旋;

3. 如果要插入的值大于当前节点的值,在当前节点的右子树中插入,插入后如果右子节点的优先级小于当前节点的优先级,对当前节点进行左旋;

4. 如果当前节点为空节点,在此建立新的节点,该节点的值为要插入的值,左右子树为空,插入成功。


Treap_Node *root;

void Treap_Insert(Treap_Node *&P,int value) //节点指针一定要传递引用

{

  if (!P) //找到位置,建立节点

  {

    P=new Treap_Node;

    P->value=value;

    P->fix=rand();//生成随机的修正值

  }

  else if (value <= P->value)

  {

    Treap_Insert(P->left,r);

    if (P->left->fix < P->fix)

      Treap_Right_Rotate(P);//左子节点修正值小于当前节点修正值,右旋当前节点

  }

  else

  {

    Treap_Insert(P->right,r);

    if (P->right->fix < P->fix)

      Treap_Left_Rotate(P);//右子节点修正值小于当前节点修正值,左旋当前节点

  }

}

3.3   删除

与BST 一样,在Treap 中删除元素要考虑多种情况。我们可以按照在BST 中删除元素同样的方法来删除Treap 中的元素,即用它的后继(或前驱)节点的值代替它,然后删除它的后继(或前驱)节点。

上述方法期望时间复杂度为O(logN),但是这种方法并没有充分利用Treap 已有的随机性质,而是重新得随机选取代替节点。我们给出一种更为通用的删除方法,这种方法是基于旋转调整的。首先要在Treap 树中找到待删除节点的位置,然后分情况讨论:

情况一,该节点为叶节点或链节点,则该节点是可以直接删除的节点。若该节点有非空子节点,用非空子节点代替该节点的,否则用空节点代替该节点,然后删除该节点。

情况二,该节点有两个非空子节点。我们的策略是通过旋转,使该节点变为可以直接删除的节点。如果该节点的左子节点的优先级小于右子节点的优先级,右旋该节点,使该节点降为右子树的根节点,然后访问右子树的根节点,继续讨论;反之,左旋该节点,使该节点降为左子树的根节点,然后访问左子树的根节点,这样继续下去,直到变成可以直接删除的节点。


BST_Node *root;

void Treap_Delete(Treap_Node *&P,int *value) //节点指针要传递引用

{

  if (value==P->value) //找到要删除的节点 对其删除

  {

    if (!P->right || !P->left) //情况一,该节点可以直接被删除

    {

      Treap_Node *t=P;

      if (!P->right)

        P=P->left; //用左子节点代替它

      else

        P=P->right; //用右子节点代替它

      delete t; //删除该节点

    }

    else //情况二

    {

      if (P->left->fix < P->right->fix) //左子节点修正值较小,右旋

      {

        Treap_Right_Rotate(P);

        Treap_Delete(P->right,r);

      }

      else //左子节点修正值较小,左旋

      {

        Treap_Left_Rotate(P);

         Treap_Delete(P->left,r);

      }

    }

  }

  else if (value < P->value)

    Treap_Delete(P->left,r); //在左子树查找要删除的节点

  else

    Treap_Delete(P->right,r); //在右子树查找要删除的节点

}

4. Treap应用

Treap可以解决splay tree可以解决的所有问题,具体参见另一篇博文:《数据结构之伸展树》

可以这样定义结构体:


struct Treap_Node

{

  Treap_Node *left,*right; //节点的左右子树的指针

  int value,fix,weight,size; //节点的值,优先级,重复计数(记录相同节点个数,节省空间),子树大小

  inline int lsize(){ return left ?left->size ?0; } //返回左子树的节点个数

  inline int rsize(){ return right?right->size?0; } //返回右子树的节点个数

};

5. 总结

Treap 作为一种简洁高效的有序数据结构,在计算机科学和技术应用中有着重要的地位。它可以用来实现集合、多重集合、字典等容器型数据结构,也可以用来设计动态统计数据结构。

6. 参考资料

(1)Treap:http://www.nocow.cn/index.php/Treap

(2)随机平衡二叉查找树Treap 的分析与应用:http://www.byvoid.com/blog/wp-content/uploads/2010/12/treap-analysis-and-application.pdf

———————————————————————————————-

更多关于数据结构和算法的介绍,请查看:数据结构与算法汇总

———————————————————————————————-


了解更多详情请联系 今日值班讲师 或者直接加入千人QQ群进行咨询:210992946

分享到: