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数据结构之AVL树

作者:小牛君|发布时间:2017-03-24

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以下是本文正文:



1. 概述

AVL树是最早提出的自平衡二叉树,在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一,所以它也被称为高度平衡树。AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL树种查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n),增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。本文介绍了AVL树的设计思想和基本操作。

2. 基本术语

有四种种情况可能导致二叉查找树不平衡,分别为:

(1)LL:插入一个新节点到根节点的左子树(Left)的左子树(Left),导致根节点的平衡因子由1变为2

(2)RR:插入一个新节点到根节点的右子树(Right)的右子树(Right),导致根节点的平衡因子由-1变为-2

(3)LR:插入一个新节点到根节点的左子树(Left)的右子树(Right),导致根节点的平衡因子由1变为2

(4)RL:插入一个新节点到根节点的右子树(Right)的左子树(Left),导致根节点的平衡因子由-1变为-2

针对四种种情况可能导致的不平衡,可以通过旋转使之变平衡。有两种基本的旋转:

(1)左旋转:将根节点旋转到(根节点的)右孩子的左孩子位置

(2)右旋转:将根节点旋转到(根节点的)左孩子的右孩子位置

3. AVL树的旋转操作

AVL树的基本操作是旋转,有四种旋转方式,分别为:左旋转,右旋转,左右旋转(先左后右),右左旋转(先右后左),实际上,这四种旋转操作两两对称,因而也可以说成两类旋转操作。

基本的数据结构:

typedef struct Node* Tree;
typedef struct Node* Node_t;
typedef Type int;

struct Node{
 Node_t left;
 Node_t right;
 int height;
 Type data;
};
int Height(Node_t node) {
 return node->height;
}

3.1 LL

LL情况需要右旋解决,如下图所示:

代码为:

Node_t RightRotate(Node_t a) {
 b = a->left;
 a->left = b->right;
 b->right = a;
 a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
 b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
 return b;
}

3.2 RR

RR情况需要左旋解决,如下图所示:

代码为:


Node_t LeftRotate(Node_t a) {
 b = a->right;
 a->right = b->left;
 b->left = a;
 a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
 b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
 return b;
}

3.3 LR

LR情况需要左右(先B左旋转,后A右旋转)旋解决,如下图所示:

代码为:


Node_t LeftRightRotate(Node_t a) {
 a->left = LeftRotate(a->left);
 return RightRotate(a);
}

3.4 RL

RL情况需要右左旋解决(先B右旋转,后A左旋转),如下图所示:

代码为:


Node_t RightLeftRotate(Node_t a) {
 a->right = RightRotate(a->right);
 return LeftRotate(a);
}

4. AVL数的插入和删除操作

(1) 插入操作:实际上就是在不同情况下采用不同的旋转方式调整整棵树,具体代码如下:


Node_t Insert(Type x, Tree t) {
 if(t == NULL) {
   t = NewNode(x);
 } else if(x < t->data) {
   t->left = Insert(t->left);
   if(Height(t->left) - Height(t->right) == 2) {
    if(x < t->left->data) {
     t = RightRotate(t);
    } else {
     t = LeftRightRotate(t);
    }
  }
 } else {
   t->right = Insert(t->right);
   if(Height(t->right) - Height(t->left) == 2) {
    if(x > t->right->data) {
     t = LeftRotate(t);
    } else {
     t = RightLeftRotate(t);
    }
  }
 }
 t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
 return t;
}

(2) 删除操作:首先定位要删除的节点,然后用该节点的右孩子的最左孩子替换该节点,并重新调整以该节点为根的子树为AVL树,具体调整方法跟插入数据类似,代码如下:


Node_t Delete(Type x, Tree t) {
 if(t == NULL) return NULL;
 if(t->data == x) {
  if(t->right == NULL) {
   Node_t temp = t;
   t = t->left;
   free(temp);
  } else {
   Node_t head = t->right;
   while(head->left) {
    head = head->left;
   }
   t->data = head->data; //just copy data
   t->right = Delete(t->data, t->right);
   t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
  }
  return t;
 } else if(t->data < x) {
  Delete(x, t->right);
  if(t->right) Rotate(x, t->right);
 } else {
  Delete(x, t->left);
  if(t->left) Rotate(x, t->left);
 }
 if(t) Rotate(x, t);
}

5. 总结

AVL树是最早的自平衡二叉树,相比于后来出现的平衡二叉树(红黑树,treap,splay树)而言,它现在应用较少,但研究AVL树对于了解后面出现的常用平衡二叉树具有重要意义。

6. 参考资料

(1) 数据结构(C语言版) 严蔚敏,吴伟民著

(2) http://zh.wikipedia.org/wiki/AVL%E6%A0%91

(3)http://www.cppblog.com/goodwin/archive/2011/08/08/152797.html

(4)http://www.asiteof.me/2010/06/avl/

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